Question

（理）函數(shù)f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（4x₁）+f（4x₂）=1，x₁＞1，x₂＞1，則f（x₁x₂）的最小值為（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：由于f（x₁x₂）的結(jié)構(gòu)不清，故需要先對(duì)所給的條件f（4x₁）+f（4x₂）=1進(jìn)行變形，進(jìn)行探究，再由探究出的結(jié)果求f（x₁x₂）的最小值，

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，且f（4x₁）+f（4x₂）=1，log₂x₁＞0，log₂x₂＞0
∴f（4x₁）+f（4x₂）=2-

2

1+log24x1

-

2

1+log24x2

=1
∴

1

1+log24x1

+

1

1+log24x2

=

1

2

即

1

log28x1

+

1

log28x2

=

1

2

∴

log28x1+log28x2

log28x1•log28x2

=

1

2

∵log₂8x₁•log₂8x₂≤(

log28x1+log28x2

2

)2=

log264x1x2

4

∴

1

2

log₂8x₁•log₂8x₂≤

log264x1x2

8

∴l(xiāng)og₂8x₁+log₂8x₂=log264x1x2≤

(log264x1x2)2

8

解不等式可得log₂64x₁x₂≥8即x₁x₂≥4
∴0＜log₂x₁x₂≤2
∴f（x₁x₂）=1-

2

1+log2x1x2

的最小值為

1

3

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解題意，對(duì)題設(shè)中所給的條件進(jìn)行探究，逐步尋求它們與f（x₁x₂）的關(guān)系，利用基本不等式判斷出最小值，本題變形靈活，技巧性高，題后應(yīng)好好總結(jié)