Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）試判別函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=log_a（a＞0，a≠1）可得 ＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函數f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）由于函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=log_a=log_a =-log_a =-f（x），
故函數f（x）是奇函數．
（3）f（x）＜0，即 log_a＜0，當 0＜a＜1時，有 ＞1，即 ＜0，即2x（x-1）＜0，解得-1＜x＜1．
當a＞1時，有 1＞＞0，∴，即 ，即 ，解得-1＜x＜0．
綜上可得，當 0＜a＜1時，使f（x）＜0的x的取值范圍為（-1，1）；當a＞1時，使f（x）＜0的x的取值范圍為（-1，0）．
分析：（1）由函數的解析式可得 ＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此解得函數f（x）的定義域．
（2）由于函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是奇函數．
（3）f（x）＜0，即 log_a＜0，當 0＜a＜1時，當 0＜a＜1時，有 ＞1，即 ＜0，即2x（x-1）＜0，由此求得的x的取值范圍．
當a＞1時，有 1＞＞0，故 ，由此求出x的取值范圍．
點評：本題主要考查對數函數的定義域和值域，對數函數的單調性和特殊點，求函數的奇偶性的方法和步驟，屬于中檔題．