Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+lg +x）的定義域是R．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（2）若不等式f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數(shù)f（x）的定義域為R，對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的每一個x，都有

f（﹣x）=﹣x+lg（ ）=﹣x+lg =﹣f（x），．

所以，函數(shù)f（x）=x+lg +x）是奇函數(shù)．

設(shè)x1，x2是（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+lg ．．

由x1＜x2，

得x1﹣x2＜0，lg ＜1．

于是f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）=（．

所以函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞0，、f（0）=0，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在R上的單調(diào)遞增

（2）解：f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0 等價于 m3x＜﹣3x+9x+4，

即 m＜3x ﹣3

令t=3x，設(shè)函數(shù)g（t）=t+ ﹣3．

由函數(shù)g（t）的單調(diào)性可知最小值為1，

∴m＜1．

∴實數(shù)m的取值范圍（﹣∞，1）

【解析】（1）判斷函數(shù)的奇偶性，再證明x＞0的單調(diào)性，得出整個單調(diào)性；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．