Question

已知函數f（x）=（x²+mx+n）e^x，m、n∈R：
（1）若f（x）在x=0處取到極值，試討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）無極值，且

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，m的范圍是A，n的范圍是B，求A∪B．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，由題意可得，f′（0）=0，代入可求m+n=0，，代入m+n=0，的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（2）根據f（x）無極值，得到△=（m+2）²-4（m+n）≤0，即m²-4n+4≤0，把

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，化簡得

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=4，利用導數的定義可得m+n=4并代入△，即可求得集合A，集合B，從而求得A∪B．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+m）•e^x+（x²⁺mx+n）•e^x=[x²+（m+2）x+m+n]e^x，
由題意得f'（0）=0，得m+n=0，即f'（x）=[x²+（m+2）x]e^x，
當m＜-2時，x∈（-∞，0），（-m-2，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（0，-m-2）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當m＞-2時，函數f（x）在（-∞，-m-2），（0，+∞）單調遞增；在（-m-2，0）上單調遞減，
當m=-2時，不合題意．
（2）由題意△=（m+2）²-4（m+n）≤0，即m²-4n+4≤0，
∵

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，即

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=4，
f′（0）=4，
∴m+n=4，即n=4-m，
m²≤4（4-m-1），即m²+4m-12≤0，
∴m∈[-6，2]，n∈[2，10]
∴A∪B=[-6，10]．

點評：此題是中檔題．考查利用導數研究函數的極值和單調性，以及導數的定義和集合的并集運算，綜合性強，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．