Question

18．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）證明：AD⊥CE；
（2）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)F，證明CE⊥面ADF，通過證明線面垂直來達(dá)到證明線線垂直的目的．
（2）在面AED內(nèi)過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CE⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求即可即可．．

解答 解：（1）取BC中點(diǎn)F，連接DF交CE于點(diǎn)O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
再根據(jù) $tan∠CED=tan∠FDC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得∠CED=∠FDC．
又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD內(nèi)過C點(diǎn)作AD的垂線，垂足為G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
則∠CGE即為所求二面角的平面角．
作CH⊥AB，H為垂足．
∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH?平面ABC，
故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，
∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角．
∵CE=$\sqrt{6}$，∴CH=EH=$\sqrt{3}$．
直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH=$\sqrt{{CB}^{2}{-CH}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，∴AH=AB-BH=AC-1；
直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC²=CH²+AH²=3+（AC-1）²，∴AB=AC=2．
由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，
故△ACD為直角三角形，AD=$\sqrt{{AC}^{2}{+CD}^{2}}$=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
故CG=$\frac{AC•CD}{AD}$=$\frac{2•\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DG=$\sqrt{{CD}^{2}{-CG}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$EG=\sqrt{D{E^2}-D{G^2}}=\frac{{\sqrt{30}}}{3}$，又 $CE=\sqrt{6}$，
則$cos∠CGE=\frac{{C{G^2}+G{E^2}-C{E^2}}}{2CG•GE}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題．