分析 (1)由A和B在橢圓上,利用點差法求得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,根據(jù)直線的斜率公式可得kAD•kBD=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,由AD⊥AB,可得kBD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$kAB,分別求得直線BM和OA的斜率,求得M坐標,根據(jù)斜率公式求得x1=x0,可證AM⊥x軸;
(2)由(1)求得直線BD的方程,根據(jù)三角形的面積公式,利用基本不等式的關(guān)系,即可求得△OMN的面積的最大值.
解答 證明:(1)設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),
∵A,D在橢圓上,
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$
兩式相減得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,
∴kAD•kBD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,…(3分)
∵AD⊥AB,
∴kAD•kBD=-1,
∴kBD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$kAB.
設(shè)M(x0,0),則kBD=kBM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$,kAB=kOA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,
易知,y1≠0,
∴x0=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$x1=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x1,
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得,b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,
∴x1=x0,即AM⊥x軸 …(6分)
(2)∵M($\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x1,0),kBD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$kAB=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,
∴直線BD的方程是y=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$(x-$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x1),
令x=0得,yN=-$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$,
∴S=$\frac{1}{2}$|x0||yN|=$\frac{1}{2}$|$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$||$\frac{{c}^{2}{x}_{1}}{^{2}}$|=$\frac{{c}^{4}}{2{a}^{2}^{2}}$|x1y1|…(9分)
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$得,1=$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$≥2丨$\frac{{x}_{1}{y}_{1}}{ab}$丨,|x1y1|≤$\frac{ab}{2}$,
當且僅當a|y1|=b|x1|時取等號,
∴S≤$\frac{{c}^{4}}{4ab}$,
∴△OMN的面積的最大值是$\frac{{c}^{4}}{4ab}$. …(12分)
點評 本題考查橢圓的標準方程,直線的斜率公式及方程,考查點差法的應(yīng)用,考查三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [2,3] | B. | (-∞,2]∪[3,+∞) | C. | [3,+∞) | D. | (0,2]∪[3,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(3)<g(0)<f(4) | B. | g(0)<f(4)<f(3) | C. | g(0)<f(3)<f(4) | D. | f(3)<f(4)<g(0) |
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