Question

橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）的焦點在x軸上，左焦點為（-c，0），其右頂點關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點在直線x=-

4

c

上，
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交直線x=-

4

c

于點C，設(shè)O為坐標(biāo)原點，且

OA

+

OC

=2

OB

，求△OAB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用軸對稱的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量運算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）橢圓的右頂點為（2，0）．
設(shè)（2，0）關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點為（x₀，y₀），則

x0+2 2 - y0 2 +4=0 y0 x0-2 =-1

解得：x₀=-4
∴

4

c

=4，∴c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-4，y₃）
橢圓的左焦點F的直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②．
∵

OA

+

OC

=2

OB

，
∴（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂）
∴2x₂-x₁=-4③．
由①③得：x₂=-

4+8k2

3+4k2

，x₁=

4

3+4k2

，
代入②整理得：4k⁴-k²-5=0．
∴k2=

5

4

，
∴x₂=-

7

4

，x₁=

1

2

．
由于對稱性，只需求k=

5

2

時，△OAB的面積，
此時，y₁=

3 5

4

，y₂=-

3 5

8

，
∴△OAB的面積為

1

2

|OF||y₁-y₂|=

9 5

16

．

點評：本題考查橢圓的方程，掌握軸對稱的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運算及其相等是解題的關(guān)鍵．