Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x³-ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對(duì)?x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范圍；
（3）證明不等式：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,不等式的證明

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）≤f（1）=0，從而可求f（x）的最大值；
（2）若對(duì)?x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）_max≤g（x）_max，
由（1）知f（x）_max=0，分類討論，求出g（x）_max，即可求a的取值范圍；
（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x-1（x＞0），取x=

k

n

，可得ln

k

n

≤

k

n

-1=

k-n

n

，從而可得（

k

n

）ⁿ≤e^k-n，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-x+1 （x＞0）
∴f′（x）=

1-x

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值為0；
（2）解：?x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
等價(jià)于f（x）_max≤g（x）_max，
由（1）知f（x）_max=0，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=x³-ax在x∈[1，2]時(shí)恒為正，滿足題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=3x²-a，
令g′（x）=0，解得x=±

a 3

，
∴g（x）在（-∞，-

a 3

），（

a 3

，+∞）上單調(diào)增
若

a 3

≤1即0＜a≤3時(shí)，g（x）_max=g（2）=8-2a，∴8-2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3
若1＜

a 3

≤2即3＜a≤12時(shí)，g（x）在[1，

a 3

]，[

a 3

，2]
而g（1）=1-a＜0，g（2）=8-2a在（3，4]為正，在（4，12）為負(fù)
∴3＜a≤4
當(dāng)

a 3

＞2而a＞12時(shí)g（1）＜0，g（2）＜0不合題意
綜上a的取值范圍為  a≤4．
（3）證明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x-1（x＞0）
取x=

k

n

，∴l(xiāng)n

k

n

≤

k

n

-1=

k-n

n

，
∴nln

k

n

≤k-n，即（

k

n

）ⁿ≤e^k-n，
∴（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ≤e^1-n+e^2-n+…+e^n-n=

e1-n-en-n•e

1-e

=

e-e1-n

e-1

＜

e

e-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．