過x軸上動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點(diǎn)．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2，求證：k1•k2為定值，并求出定值；
（2）求證：直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)
S△APO
PQ
最小時(shí)，求
AQ
•
AP
的值．
（1）設(shè)過A（a，0）與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-a）
由
y=k(x-a)
y=x2+1
得x2-kx+（ka+1）=0∴△=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0
則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）
則-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1）∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點(diǎn)（0，2）
（3）要使
S△APQ
|
PQ
|
最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離 d=
2a2+2
4a2+1
=
1
2
(
4a2+1+3
4a2+1
)=
1
2
(
4a2+1
+
3
4a2+1
)≥
3

當(dāng)且僅當(dāng)
4a2+1
=
3
4a2+1
即 a2=
1
2
時(shí)取等號(hào)設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
y=2xa+2
y=x1+1
得x2-2ax-1=0，則x1+x2=2a，x1x2=-1，
AQ
•
AP
=（x1-a）（x2-a）+y1y2=（x1-a）（x2-a）+（2ax1+2）（2ax2+2）
=（1+4a2）x1x2+3a（x1+x2）+a2+4=-（1+4a2）+3a•2a+a2+4=3a2+3=
9
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=3x+2過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線方程；
（2）設(shè)拋物線的一條切線l1，若l1∥l，求切點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上，從原點(diǎn)向A（2，4）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當(dāng)S1=S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)S1+S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線x2-y2=a2截直線4x+5y=0的弦長(zhǎng)為
41
，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�
A．3B．
3
2
C．
12
5
D．
6
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=x-2與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為（　　）
A．2
6
B．4
6
C．2
3
D．4
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸，它的短軸長(zhǎng)為2，過焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，若
PC
=λ1
CN
，
PD
=λ2
DN
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=8x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦點(diǎn)F，且橢圓過點(diǎn)D（-
2
，
3
）．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)A、B是橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，記過點(diǎn)A、B、C的圓為⊙M，過點(diǎn)D作⊙M的切線l，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)A作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)P、Q，則直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），離心率為
2
2
．過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
BM
•
BN
的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證：kAM+kAN為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

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同步練習(xí)冊(cè)答案