Question

已知函數f（x）=|x³-3x|，則關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8個不同實數解的充要條件是（　�。�

• A．2b+c+4＜0
• B．

  b＜-4 2b+c+4=0

• C．

  c＞0 2b+c+4＜0

• D．

  c＞0 2b+c+4=0

Answer 1

分析：討論函數f（x）=|x³-3x|當x≥0時的單調性，得它在區(qū)間（0，1）、（3，+∞）上是增函數；在區(qū)間（1，3）上是減函數．結合函數為偶函數，作出函數y=f（x）的圖象，可得圖象關于y軸對稱，有三個極小值點和兩個極大值點．由此可得方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8個不同實數解時，其一個解滿足f（x）=K₁，K₁∈（0，2）；另一個解滿足f（x）=K₂，K₂∈（2，+∞）．最后根據一元二次方程根的分布，建立關系式，可得本題的答案．

解答：解：對于函數f（x）=|x³-3x|，討論x≥0的情況
當0≤x＜3時，f（x）=-x³+3x，得它的導數f'（x）=-3x²+3=-3（x²-1），
∴f'（x）在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，3）上f'（x）＜0，
可得函數f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數；在區(qū)間（1，3）上是減函數
當x≥3時，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x²-1），
∴f'（x）＞0在（3，+∞）上恒成立，
得函數f（x）在區(qū)間（3，+∞）上是增函數
又∵f（-x）=|-x³+3x|=|x³-3x|=f（x），∴f（x）是R上的偶函數，圖象關于y軸對稱
作出函數y=f（x）的圖象如圖，可得它在x=±

3

或x=0時，函數有極小值為0；當x=±1時，函數有極大值為2
因此，當方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8個不同實數解時，
其一個解滿足f（x）=K₁，K₁∈（0，2）；另一個解滿足f（x）=K₂，K₂∈（2，+∞）．
即關于t的一元二次方程t²+bt+c=0的一個根大于2，另一個根為小于2的正數
∴

c＞0 22+2b+c＜0

，得

c＞0 2b+c+4＜0

，即為本題所求的充要條件．
故選C

點評：本題根據含有絕對值的三次函數，討論方程根的個數．著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性和一元二次方程根的分布的討論等知識點，屬于中檔題．