Question

已知y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間及在每個(gè)區(qū)間上的增減性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=2x-x²．
∴f（-x）=-2x-x²，
又對(duì)于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0時(shí)，f（x）=2x+x²；----（2分）
∴f（x）的解析式為------（4分）
（2）f（x）的圖象如右圖：
f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數(shù)，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)---（8分）
（3）由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，只需
∴1＜a≤3----（12分）
分析：（1）根據(jù)當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=2x-x²．利用函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可求x＜0時(shí)的解析式，從而可得y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，分段作出函數(shù)的圖象，從而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）利用函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，可建立不等式組，從而可確定a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題