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如圖棱長是1的正方體,P、Q分別是棱AB、CC1上的點,且
AP
PB
=
CQ
QC1
=2

(1)求證:A1P⊥平面AQD;
(2)求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值.
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證明:(1)平面AQD與側棱B1B的交點是R,
顯然
BR
RB1
=2
,在正方形ABB1A1
AP
PB
=
BR
RB1
=2可得△A1AP≌△ABR

所以AR⊥A1P,
又AA1⊥平面ABCD,AP⊥AD,得A1P⊥AD,
∴A1P⊥平面AQD
(2)設A1P與AR交于點S,連接SQ,則∠PQS=θ即為PQ與平面AQD所成角.
在Rt△PQS中,|PS|=
4
3
13
,|PQ|=
14
3
,∴sinθ=
|PS|
|PQ|
=
4
182
=
2
182
91
,
即直線PQ與平面AQD所成角的正弦值是
2
182
91
練習冊系列答案
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=
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