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16.已知函數f(x)=aex+22+x(a≠0),g(x)=1x+2+2ln(x+2).
(1)若1<a<32,試問是否存在x1,x2∈[-32,-a],使得f(x1)>g(x2);
(2)若P是曲線y=g(x)上任意一點,求點P到直線8x+y+15=0的最小距離,并求此時點P的坐標.

分析 (1)假設存在x1,x2∈[-32,-a],使得f(x1)>g(x2),即有f(x)max>g(x)min,分別求得f(x)、g(x)的導數,判斷單調性,可得最值,解不等式可得a的范圍,與已知a的范圍比較,即可判斷存在;
(2)當與直線8x+y+15=0平行的直線與曲線y=g(x)相切時,切點P到直線的距離最小,由導數的幾何意義可得P的坐標,由點到直線的距離公式可得所求最小距離.

解答 解:(1)假設存在x1,x2∈[-32,-a],使得f(x1)>g(x2),
可得f(x)max>g(x)min,
由函數f(x)=aex+22+x(a≠0)的導數為f′(x)=aex+2x+1x+22,
由x∈[-32,-a],可得x+1∈[-12,1-a],又1<a<32,可得1-a<0,
則f′(x)<0,f(x)在[-32,-a]遞減,可得f(x)max=f(-32);
由g(x)=1x+2+2ln(x+2)的導數為g′(x)=-1x+22+2x+2=2x+3x+22,
由x∈[-32,-a],可得g′(x)>0,g(x)遞增,
可得g(x)min=g(-32),
由f(x)max>g(x)min,可得ae1212112+2ln12,
化簡可得a>1ln2e12,
1ln2e12∈(0,1),又1<a<32,
可得在1<a<32,存在x1,x2∈[-32,-a],使得f(x1)>g(x2);
(2)設與直線8x+y+15=0平行的切線與曲線y=g(x)相切的切點P(m,n),
可得2m+3m+22=-8,(m>-2)
解得m=-74(-52舍去),
即有切點P(-74,4-4ln2),
可得P到直線8x+y+15=0的距離為d=|14+44ln2+15|64+1
=|54ln2|65=54ln26565,
則點P到直線8x+y+15=0的最小距離為54ln26565,
此時點P的坐標(-74,4-4ln2).

點評 本題考查導數的運用:求切線的斜率和單調區(qū)間,考查存在性問題的解法,同時考查曲線上點到直線的距離的最值的求法,注意運用直線和曲線相切,運用點到直線的距離公式,屬于中檔題.

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