Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+3）在[2，4]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞1
• B、0＜a＜1或a＞1
• C、

  1

  16

  ＜a≤

  1

  8

• D、

  1

  16

  ＜a≤

  1

  8

  或a＞1

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將原函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+3）看成是函數(shù)：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的復(fù)合函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性來研究即可．注意對數(shù)的真數(shù)必須大于0．

解答： 解：設(shè)μ=ax²-x+3．
則原函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x+3）是函數(shù)：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的復(fù)合函數(shù)，
①當(dāng)a＞1時，因μ=log_ax在（0，+∞）上是增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)μ=ax²-x+3在[2，4]上是增函數(shù)，
∴

a×22-2+3＞0 1 2a ≤2

，
∴a＞1．
②當(dāng)0＜a＜1時，因μ=log_ax在（0，+∞）上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得
函數(shù)μ=ax²-x+3在[2，4]上是減函數(shù)，
∴

a×42-4+3＞0 1 2a ≥4

，
∴

1

16

＜a≤

1

8

．
綜上所述：

1

16

＜a≤

1

8

或a＞1，
故選：D

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性．是基礎(chǔ)題．熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間．理解并掌握判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法：同增異減．