Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₄+1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-a_n=2，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由等比數(shù)列中公比為q，b₄=b₁•q³=8，求得q，根據(jù)等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，由等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，采用分組求和的方法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）由題意可知：a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1，
∴a₄=7，
由等比數(shù)列{b_n}公比為q，b₄=b₁•q³=8，
∴q³=8，q=2，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{（1+2n-1）×n}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
=2ⁿ+n²-1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ+n²-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列的分組求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．