Question

（2012•河西區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求k²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

可求a，c結(jié)合b²=a²-c²=1即可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過(guò)B點(diǎn)的直線為y=kx+1，聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標(biāo)，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1
，解方程可求

解答：解：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

．…（2分）
解得a=2，c=

3

，…（4分）
所以b²=a²-c²=1，
橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過(guò)B點(diǎn)的直線為y=kx+1，
由

x2 4 +y2=1 y=kx+1

得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依題意k≠0，k≠±

1

2

．
因?yàn)閨BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當(dāng)y_D＞0時(shí)，y_D²-y_D+1=0，無(wú)解，…（11分）
當(dāng)y_D＜0時(shí)，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1- 5

2

，…（12分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1- 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

，
所以，當(dāng)|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列時(shí)，k2=

2+ 5

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，及等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于綜合性試題