Question

12．已知過定點P（2，0）的直線l與曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最大時，直線l的傾斜角為（　　）

• A． 150°
• B． 135°
• C． 120°
• D． 30°

Answer 1

分析 曲線y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$為圓x²+y²=2的上半圓，由題意和三角形的面積公式可得當∠AOB=90°時，△AOB的面積取到最大值，O到直線l的距離OD=1，在直角三角形中由三角函數(shù)定義和傾斜角的定義可得．

解答 解：曲線y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$為圓x²+y²=2的上半圓，
由題意可得△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•sin∠AOB=sin∠AOB，
當sin∠AOB=1即∠AOB=90°時，△AOB的面積取到最大值，
此時在RT△AOB中易得O到直線l的距離OD=1，
在RT△POD中，易得sin∠OPD=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，可得∠OPD=30°，
∴直線l的傾斜角為150°
故選：A

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．