Question

【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ，其中 與的焦點(diǎn)重合，過(guò)與長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)且,曲線是以原點(diǎn)為圓心以 為半徑的圓.

（1）求與及的方程；

（2）若動(dòng)直線與圓相切,且與交與兩點(diǎn),三角形 的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線的方程，再根據(jù)題意分別求出橢圓和圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，求出面積的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，求出范圍.

(1)由已知設(shè)拋物線方程為則,解得,

即的方程為;焦點(diǎn)坐標(biāo)為,

所以橢圓中,其焦點(diǎn)也在軸上設(shè)方程為

由得, 又解得

橢圓方程為，

又所以所求圓的方程為，

(2) 因?yàn)橹本�與圓相切,所以圓心O到直線的距離為1,

所以，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)方程為,兩種情況所得到的三角形面積相等,

由得 ,不妨設(shè) ,

此時(shí) ，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)為,直線方程為

所以圓心O到直線的距離為 即，

由得

所以

恒大于0，

設(shè) 則

所以

，

令則,

所以

是關(guān)于 的二次函數(shù)開口向下,在時(shí)單調(diào)遞減,

所以，綜上: .