Question

13．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），設(shè)c_n=（-1）ⁿ$\frac{2{a}_{n}+1}{2{S}_{n}}$，則數(shù)列{c_n}的前2016項(xiàng)的和為（　　）

• A． -$\frac{2015}{2016}$
• B． -$\frac{2016}{2015}$
• C． -$\frac{2017}{2016}$
• D． -$\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），a_n＞0，可得：當(dāng)n=1時(shí)，$2{a}_{1}={a}_{1}^{2}$+a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得：a_n，S_n．可得c_n=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，即可得出．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），a_n＞0，∴當(dāng)n=1時(shí)，$2{a}_{1}={a}_{1}^{2}$+a₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²+a_n-$（{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}）$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴c_n=（-1）ⁿ$\frac{2{a}_{n}+1}{2{S}_{n}}$=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
則數(shù)列{c_n}的前2016項(xiàng)的和=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}）$
=-1+$\frac{1}{2017}$
=-$\frac{2016}{2017}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．