Question

6．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐A-BDF的體積；
（2）求CM與平面ABCD所成的角大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化證明線面垂直，由面ACEF⊥面ABCD，面ACEF∩面ABCD=AC，F(xiàn)A?面ACEF，F(xiàn)A⊥AC，可得FA⊥面ABCD，從而得到三棱錐ABD-F的高．
（2）線面角的大小三步驟：找（作），證，算；設(shè)BD∩AC=O，連接OF，O為AC的中點(diǎn)，M是線段EF的中點(diǎn)，
可得四邊形CMFO為平行四邊形，由CM∥OF，AF⊥面ABCD，則∠FOA為CM與平面ABCD所成的角．從而通過(guò)三角的判斷來(lái)計(jì)算角的大�。�

解答 解：（1）由題意：∵面ACEF⊥面ABCD，面ACEF∩面ABCD=AC，F(xiàn)A?面ACEF，F(xiàn)A⊥AC，∴FA⊥面ABCD，
在三棱錐ABD-F中：${V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABD}}×|AF|=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1=\frac{1}{3}$，
∴${V_{A-BDF}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}$．
（2）設(shè)BD∩AC=O，連接OF，O為AC的中點(diǎn)，M是線段EF的中點(diǎn)，
∵M(jìn)F∥OC，且MF=OC，
∴四邊形CMFO為平行四邊形，
∴CM∥OF，
又∵AF⊥面ABCD，則∠FOA為CM與平面ABCD所成的角．
在Rt△FOA中，AO=AF=1，故∠FOA=45°，
故CM與平面ABCD所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直轉(zhuǎn)化證明線面垂直和三棱錐的換底來(lái)求體積的思想和線面角的求法．屬于基礎(chǔ)題．