12.$\overrightarrow{a}$=(2cos$\frac{π}{4}$x,1),$\overrightarrow$=(sin($\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$x),-1)定義在R上的函數(shù)f(x+1)=-f(x),∈[1,3]時(shí),f(x)=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$則下列大小關(guān)系正確的是( 。
A.f(tan($\frac{1}{2}π-1$))>f(cot1)B.f(cos$\frac{5}{6}π$)$<f(cos\frac{π}{3})$C.f(sin2)>f(cos2)D.f(cos1)>f(sin1)

分析 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)周期,作出函數(shù)的圖形草圖,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性判斷.

解答 解:∵f(x+1)=-f(x),
∴f(x)=-f(x-1),f(x)=-f(x+1),
∴f(x-1)=f(x+1).
∴f(x)是周期為2的函數(shù).
當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos$\frac{πx}{4}$sin($\frac{π}{2}+\frac{πx}{4}$)-1=2cos2$\frac{πx}{4}$-1=cos$\frac{πx}{2}$.
∴f(x)在[1+2k,2+2k]上單調(diào)遞減,在[2+2k,3+2k]上單調(diào)遞增,
作出f(x)的圖象草圖:

由圖象可知f(x)為偶函數(shù).
對(duì)于A,∵tan($\frac{π}{2}-1$)=cot1,∴f(tan($\frac{π}{2}-1$))=f(cot1).故A錯(cuò)誤.
f(cos$\frac{5π}{6}$)=f(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)=f($\frac{\sqrt{3}}{2}$),f(cos$\frac{π}{3}$)=f($\frac{1}{2}$),
對(duì)于B,∵$0<\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$,∴f($\frac{1}{2}$)<f($\frac{\sqrt{3}}{2}$),即f(cos$\frac{5π}{6}$)>f(cos$\frac{π}{3}$),故B錯(cuò)誤.
對(duì)于D,∵1>sin1>cos1>0,
∴f(sin1)>f(cos1),故D錯(cuò)誤.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性應(yīng)用,向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.

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A.4B.3C.2D.1

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