Question

7．對x∈R，定義函數sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$
（1）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（2）設函數f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|），若關于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，列出方程，逐一求解即可．
（2）求出函數的解析式，得到a的表達式，畫出圖象，通過a的范圍討論函數零點個數即可．

解答 解：（1）當x＞0時，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=3（x=0不合題意舍去）；
當x=0時，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解；
當x＜0時，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合題意舍去）．
綜上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．  …（6分）
（2）由于函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\;}\\{-{x^2}+2x\;，\;\;0＜x＜2}\\{-{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;x≤0}\end{array}}\right.$，
則原方程轉化為：$a=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\\-{x^2}+x\;，\;\;0＜x＜2\\-{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;x≤0\end{array}\right.$．
數形結合可知：
①當a＜-2時，原方程有1個實根；
②當a=-2時，原方程有2個實根；
③當-2＜a＜0時，原方程有3個實根；
④當a=0時，原方程有4個實根；
⑤當$0＜a＜\frac{1}{4}$時，原方程有5個實根；
⑥當$a=\frac{1}{4}$時，原方程有4個實根；
⑦當$\frac{1}{4}＜a＜\frac{9}{4}$時，原方程有3個實根；
⑧當$a=\frac{9}{4}$時，原方程有2個實根；
⑨當$a＞\frac{9}{4}$時，原方程有1個實根．
故當$a∈（\;-2\;，\;0\;）∪（\;\frac{1}{4}\;，\;\frac{9}{4}\;）$時，關于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根．…（12分）

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，函數的圖象數形結合以及轉化思想，分類討論思想的應用，考查計算能力．