Question

已知雙曲線C：2x²-y²=2與點(diǎn)P（1，2）
（1）求過(guò)P（1，2）點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后進(jìn)行分類(lèi)討論，把直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題進(jìn)行求解．
（2）假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2兩式相減得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由點(diǎn)差法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（�。┊�(dāng)2-k²=0，即k=±

2

時(shí)，方程（^*）有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)
（ⅱ）當(dāng)2-k²≠0，即k≠±

2

時(shí)
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①當(dāng)△=0，即3-2k=0，k=

3

2

時(shí)，方程（^*）有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)．
②當(dāng)△＞0，即k＜

3

2

，又k≠±

2

，
故當(dāng)k＜-

2

或-

2

＜k＜

2

或

2

＜k＜

3

2

時(shí)，方程（^*）有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)．
③當(dāng)△＜0，即k＞

3

2

時(shí)，方程（^*）無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn)．
綜上知：當(dāng)k=±

2

，或k=

3

2

，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)

2

＜k＜

3

2

，或-

2

＜k＜

2

，或k＜-

2

時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k＞

3

2

時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
兩式相減得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴2（x₁-x₂）=y₁-y₁  
即k_AB=

y1-y2

x1-x2

=2，
但漸近線斜率為±

2

，
結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，
即以Q為中點(diǎn)的弦不存在．

點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題．第二問(wèn)考查處理直線與圓錐曲線問(wèn)題的第二種方法--“點(diǎn)差法”，涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化．具體涉及到二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式．易錯(cuò)點(diǎn)：第一問(wèn)，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論．第二問(wèn)，算得以Q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了．