Question

15．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面 ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)直線和平面垂直的定義進(jìn)行證明．

解答 證明：（1）取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN．
在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，且$MN=\frac{1}{2}CD$．
由已知$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，
∴MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABNM為平行四邊形，
所以BN∥AM．
又因?yàn)锽N?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．

（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又平面ADEF與平面ABCD垂直且交線為AD，
由面面垂直的性質(zhì)定理得ED⊥平面ABCD，
所以ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，且$AB=AD=\frac{1}{2}CD=1$可得$BC=\sqrt{2}$，
在△BCD中，$BD=BC=\sqrt{2}，CD=2$，
則BD²+BC²=CD²，即BC⊥BD，
又ED⊥BC，故BC⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判斷以及線面垂直的判斷，利用相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．