Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q（q∈N^*））的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，銷售單價P與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-q．
（1）產(chǎn)量q為何值時，利潤最大？
（2）產(chǎn)量q為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大？

Answer 1

解：（1）銷售收入R=q×p=25q-，
利潤L=R-C=-+21q-100（0＜q＜200），
L=-，
所以產(chǎn)量q=84時，利潤L最大；
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤f（q）==21-，
f′（q）=-+，
解f′（q）=0得q=20，
0＜q＜20時，f′（q）＞0，f（q）單調(diào)遞增；
20＜q＜200時，f′（q）＜0，f（q）單調(diào)遞減，
因?yàn)?8＜20＜29，且f（28）＞f（29），
所以產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤L最大．
答：產(chǎn)量q=28時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大．
分析：（1）表示出銷售收入R、利潤L，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（2）每件產(chǎn)品的平均利潤f（q）=，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最大值及產(chǎn)量q值，注意q為正整數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際背景下函數(shù)的最值問題、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．