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7.如圖,在平行四邊形ABCD中,P,Q分別是BC和CD的中點(diǎn).
(1)若AB=2,AD=1,∠BAD=60°,求ABAC及cos∠BAC的余弦值;
(2)若ACAP+μBQ,求λ+μ的值.

分析 (1)由已知中AB=2,AD=1,∠BAD=60°,代入向量數(shù)量積公式,可得ABAC,求出|AC|,代入cos∠BAC=ABAC|AB||AC|可得cos∠BAC的余弦值;
(2)若ACAP+μBQ,則{λ12μ=112λ+μ=1,解得答案.

解答 解:(1)∵平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,
ABAC=AB•(AB+AD)=AB2+ABAD=22+2×1×cos60°=5,
|AC|2=AC2=(AB+AD2=AB2+2ABAD+AD2=22+2×2×1×cos60°+1=7,
∴|AC|=7
cos∠BAC=ABAC|AB||AC|=527=5714;
(2)∵P,Q分別是BC和CD的中點(diǎn).
AP=AB+12AD,BQ=AD-12AB
ACAP+μBQ,
AB+AD=λ(AB+12AD)+μ(AD-12AB),
{λ12μ=112λ+μ=1,
解得:{λ=65μ=25,
∴λ+μ=85

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用,向量的數(shù)量積,向量的夾角,向量的模,難度中檔.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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