Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣ ．
（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；
（2）若C1上的點P對應的參數(shù)為t= ，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3： （α為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

∴ ，

∴曲線C1的普通方程為（x+4）2+（y﹣3）2=1．

∵曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣ ，

∴ρ2+8ρ2sin2θ=36，∴x2+y2+8y2=36，

∴曲線C2的直角坐標方程為 =1

（2）解：∵C1上的點P對應的參數(shù)為t= ，∴P（﹣4，4），

∵Q為C2上的動點，∴Q（6cosθ，2sinθ），

∴PQ中點M（﹣2+3cosθ，2+sinθ），

∵直線C3： （α為參數(shù)），

∴C3為直線x+ y+6 =0，

∴點M到C1的距離：

d= =|4 |，

∴當sin（ ）=﹣1時，PQ中點M到直線C3： （α為參數(shù)）距離的最小值：

dmin=3 ﹣1

【解析】（1）曲線C1的參數(shù)方程中利用sin2t+cos2t=1，消去參數(shù)t，能求出曲線C1的普通方程；曲線C2的極坐標方程中利用ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ，能求出曲線C2的直角坐標方程．（2）先求出P（﹣4，4），Q（6cosθ，2sinθ），從而求出PQ中點M的坐標，再求出直線C3的直角坐標方程，由此利用點到直線的距離公式能求出PQ中點M到直線C3的距離的最小值．