Question

14．已知雙曲線H：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1，斜率為2的動(dòng)直線l交H于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)在一條定直線上，這條定直線的方程為（　　）

• A． x+y=0
• B． x-y=0
• C． x+2y=0
• D． x-2y=0

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法”即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．
則$\frac{{{x}_{1}}^{3}}{3}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{6}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{6}$=1，
相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{3}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{6}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，y₁+y₂=2y₀，x₁+x₂=2x₀，
則2•$\frac{2{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=2，
即x₀=y₀，即x₀-y₀=0．
故線段AB的中點(diǎn)在直線x-y=0上．
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法”，利用點(diǎn)差法是解決本題的關(guān)鍵．