Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

2

a2-1=a1=2，
解得a₂=6．
當(dāng)n=2時(shí)，S2=

1

2

a3-1=2+6=8，
解得a₃=18．
（Ⅱ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

1

2

an+1-1，Sn-1=

1

2

an-1，
∴an=Sn-Sn-1=

1

2

an+1-

1

2

an，
即a_n+1=3a_n．
對(duì)于a₂=3a₁也滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=2•3n-1(n∈N*)．
（ III）∵an=2•3n-1(n∈N*)，
∴nan=2n•3n-1，
∴Tn=2•1+4•3+6•32+8•33+…+2n•3n-1，
3Tn=2•3+4•32+6•33+8•34+…+2n•3n，
相減得，-2Tn=2(1+3+32+33+…+3n-1)-2n•3n
=2•

1-3n

1-3

-2n•3n
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ，
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

．