Question

19．某公司對新招聘的員工張某進行綜合能力測試，共設置了A、B、C三個測試項目．假定張某通過項目A的概率為$\frac{1}{2}$，通過項目B、C的概率均為a（0＜a＜1），且這三個測試項目能否通過相互獨立．
（1）用隨機變量X表示張某在測試中通過的項目個數，求X的概率分布和數學期望E（X）（用a表示）；
（2）若張某通過一個項目的概率最大，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．
（2）由已知條件結合概率的性質列出方程組，能求出a的取值范圍．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．
$P（X=0）=（1-\frac{1}{2}）C_2^0{（1-a）^2}=\frac{1}{2}{（1-a）^2}$，
$P（X=1）=\frac{1}{2}C_2^0{（1-a）^2}+（1-\frac{1}{2}）C_2^1a（1-a）=\frac{1}{2}（1-{a^2}）$，
$P（X=2）=\frac{1}{2}C_2^1a（1-a）+（1-\frac{1}{2}）C_2^2{a^2}=\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$，
$P（X=3）=\frac{1}{2}C_2^2{a^2}=\frac{1}{2}{a^2}$．
從而X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{2}{（1-a）^2}$	$\frac{1}{2}（1-{a^2}）$	$\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$	$\frac{a^2}{2}$

X的數學期望為$E（X）=0×\frac{1}{2}{（1-a）^2}+1×\frac{1}{2}（1-{a^2}）+2×\frac{1}{2}（2a-{a^2}）+3×\frac{a^2}{2}=\frac{4a+1}{2}$…（5分）
（2）$P（X=1）-P（X=0）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-{（1-a）^2}]=a（1-a）$，
$P（X=1）-P（X=2）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-（2a-{a^2}）]=\frac{1-2a}{2}$，
$P（X=1）-P（X=3）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-{a^2}]=\frac{{1-2{a^2}}}{2}$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{a（1-a）≥0}\\{\frac{1-2a}{2}≥0}\\{\frac{{1-2{a^2}}}{2}≥0}\end{array}}\right.$和0＜a＜1，得$0＜a≤\frac{1}{2}$，
即a的取值范圍是$（0，\;\;\frac{1}{2}]$…（10分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查實數值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意概率知識的合理運用．