Question

已知函數(shù)（a、b、c∈N）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的圖象按平移后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式為．
∵函數(shù)f（x）的圖象平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（-x+1）=-f（x+1），即．
∵a∈N，∴ax²+1＞0．∴-bx+c=-bx-c，∴c=0．
又∵f（2）=2，∴．∴a+1=2b，∴a=2b-1． ①
又．∴4a+1＜6b． ②
由①，②及a、b∈N，得a=1，b=1．
（Ⅱ）證明：n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，
===．
分析：（Ⅰ）利用平移規(guī)律，可得，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得f（-x+1）=-f（x+1），從而可求c的值，根據(jù)f（2）=2，f（3）＜3，a、b∈N，可得a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式，再進(jìn)行放縮，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查不等式的證明，考查函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于中檔題．