Question

【題目】已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－ax－1的定義域為(0，＋∞)．

(1)設(shè)a＝e，求函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）y＝－1.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為f′(1)，再根據(jù)點斜式求切線方程（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性

試題解析：(1)∵a＝e，

∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.

∴當(dāng)a＝e時，函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－1.

(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.

易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)a≤1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，

∴當(dāng)0<x<lna時，f′(x)<0，當(dāng)x>lna時，f′(x)>0，

∴f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a≤1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．