Question

（本題滿(mǎn)分12分）

把邊長(zhǎng)為的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱形容器(不計(jì)接縫)，設(shè)容器的高為，容積為.

（Ⅰ）寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070711192406503493/SYS201307071120217401967930_DA.files/image002.png">。（Ⅱ）容器高為時(shí)，容器的容積最大為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)為    ----2分.

則   .            ---------4分

函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070711192406503493/SYS201307071120217401967930_DA.files/image002.png">.         --------- 5分

（Ⅱ）實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).

先求的極值點(diǎn).

在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，-----------6分

令，即令，解得.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070711192406503493/SYS201307071120217401967930_DA.files/image012.png">在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.            ------------8分

因此是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，

所以是的最大值點(diǎn)，并且最大值   

即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為.----------12分

考點(diǎn)：函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，建立數(shù)學(xué)模型．求解析式的時(shí)候，要記得求函數(shù)的定義域。