Question

15．（1）直線kx-y+1=3k，當k變動時，所有直線都通過一個定點，求這個定點；
（2）過點P（1，2）作直線l交x、y軸的正半軸于A、B兩點，求使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線的方程變形為k（x-3）=y-1，對任意的實數k，則$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解出定點的坐標即可；
（2）直線l的斜率存在，設l：y-2=k（x-1），求出A，B的坐標，進一步求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，由基本不等式可得k的值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）由kx-y+1=3k得k（x-3）=y-1，
對任意的實數k，則$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，
解得：x=3，y=1．
∴定點坐標為（3，1）；
（2）直線l的斜率存在，設l：y-2=k（x-1），則$A（1-\frac{2}{k}，0）$，B（2-k，0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{1-\frac{2}{k}＞0}\\{2-k＞0}\end{array}}\right.$，得k＜0，
$\overrightarrow{PA}=（-1，-k）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{2}{k}，-2）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\frac{2}{k}+2k=-2（-k+\frac{1}{-k}）≤-4$，
當且僅當$-k=\frac{1}{-k}$，即k=-1時，${（\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}）_{max}}=-4$，
此時，直線l的方程為y-2=-（x-1），即x+y-3=0．

點評 本題考查直線過定點問題，考查了直線的一般式方程，考查了基本不等式的運用，是中檔題．