Question

已知空間四點(diǎn)A、B、C、D每?jī)牲c(diǎn)的連線都相等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則點(diǎn)P與Q的最小距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知中正四面體A-BCD棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在CD上移動(dòng)，根據(jù)正四面體的幾何特征，可得當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ為異面直線AB與CD的公垂線段，取最小值．

解答： 解：∵正四面體A-BCD棱長(zhǎng)為a，
點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在CD上移動(dòng)，
故當(dāng)PQ為異面直線AB與CD的公垂線段時(shí)，PQ取最小值
由正四面體的幾何特征可得此時(shí)，P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)
在Rt△PBQ中，PB=

1

2

a，BQ=

3

2

a
則PQ=

BQ2-PB2

=

2

2

a．
故答案為：

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題以正四面體為載體，考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，判斷出當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ為異面直線AB與CD的公垂線段，取最小值，是解答本題的關(guān)鍵．