Question

設函數f(x)=

1

3

ax3+

1

2

(a+b)x2+bx的圖象過點（-1，2）．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當a=3時，求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若a＜0且f（-1）是函數f（x）的極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數圖象過點（-1，2），將坐標代入整理可得；
（2）a=3時確定出b=-3，確定出函數解析式，求出導函數令其大于零得到增區(qū)間；令其小于零得到減區(qū)間．并求出函數的極值即可．
（3）求出導函數的極值點，因為a＜0且f（-1）是函數f（x）的極小值，比較出兩個駐點的大小列出不等式求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=

1

3

ax3+

1

2

(a+b)x2+bx的圖象過點（-1，2）
∴-

1

3

a+

1

2

(a+b)-b=2，整理得，a-3b-12=0
故b=

a-12

3

；
（Ⅱ）當a=3時，由a-3b-12=0得，b=-3
∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），單調減區(qū)間是（-1，1）；極大值是f（-1）=2，極小值是f（1）=-2；
（Ⅲ）f′（x）=ax²+（a+b）x+b=（x+1）（ax+b）
∵a＜0且f（-1）是函數f（x）的極小值，∴-

b

a

＞-1
又∵a-3b-12=0，∴b=

a-12

3

，∴-

a-12

3a

＞-1
解得，a＜-6
故a的取值范圍為（-∞，-6）．

點評：考查學生利用導數研究函數的單調性的能力即利用導數研究函數極值的能力．