Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
④存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：①舉例說(shuō)明該命題正確；
②舉例說(shuō)明該命題錯(cuò)誤；
③通過(guò)理論說(shuō)明該命題錯(cuò)誤；
④舉例說(shuō)明該命題正確．

解答： 解：對(duì)于①，令y=x+

1

2

，則該直線既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，∴①正確；
對(duì)于②，若k=

2

，b=-

2

，則直線y=

2

x-

2

經(jīng)過(guò)（1，0），∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，設(shè)y=kx為過(guò)原點(diǎn)的直線，若此直線l過(guò)不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過(guò)這種方法得到直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，
又通過(guò)上下平移得到y(tǒng)=kx+b不一定成立，∴③不正確；
對(duì)于④，令直線y=

2

x，則該直線恰過(guò)整點(diǎn)（0，0），∴④正確．
綜上，命題正確的序號(hào)有：①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的命題的判斷真假的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用舉例說(shuō)明的方法，并能適當(dāng)?shù)淖C明，是較難的題目．