20.拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,焦點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)P是拋物線C上的任意一點(diǎn),令t=$\frac{|PA|}{|PF|}$,則t的最大值為(  )
A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.4

分析 已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),P(x,y)是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),得到PA和拋物線相切時(shí)t取得最大值.

解答 解:由題意可得,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,
則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM,∠PAM為銳角.
故當(dāng)∠PAM最小時(shí),則$\frac{|PF|}{|PA|}$最小,t=$\frac{|PA|}{|PF|}$最大,
故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),$\frac{|PF|}{|PA|}$最。畉=$\frac{|PA|}{|PF|}$最大,
可設(shè)切點(diǎn)P(a,2$\sqrt{a}$),
則PA的斜率為k=$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$,
而函數(shù)y=2$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=(2$\sqrt{x}$)′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$,
即為$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$,
求得a=1,可得P(1,2),
則|PM|=2,|PA|=2$\sqrt{2}$,
即有sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
由拋物線的對(duì)稱性可得P為(1,-2)時(shí),同樣取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
此時(shí)t取得最大值為$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$,
另解:過點(diǎn)P作PM與準(zhǔn)線垂直,垂足為M,則t═$\frac{|PA|}{|PF|}$=$\frac{|PA|}{|PM|}$=$\frac{1}{cos∠APM}=\frac{1}{cos∠PAF}$,
當(dāng)t取得最大值時(shí),∠PAF必須取得最大值,此時(shí)直線AP與拋物線相切,
設(shè)切線方程為y=k(x+1)與y2=4x聯(lián)立,消去x,得ky2-4y+4k=0,
所以△=16-16k2=0,
所以k=1或-1,從而PA的斜率為±1,此時(shí),∠PAF=45°,
所以t的最大值為$\frac{1}{cos45°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“考試成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”?
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k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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