Question

13．經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右焦點(diǎn)F的直線1交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是直線x=$\frac{9}{5}$上任意一點(diǎn)，直線MA、MF、MB的斜率分別為k₁、k₂、k₃，則（　�。�

• A． k₁+k₃=k₂
• B． k₁+k₃=2k₂
• C． k₁k₃=k₂
• D． k₁k₃=k${\;}_{2}^{2}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)直線1的方程為x=my+5，代入雙曲線的方程16x²-9y²=144，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)M（$\frac{9}{5}$，t），運(yùn)用直線的斜率公式可得k₂=$\frac{t}{\frac{9}{5}-5}$=-$\frac{5t}{16}$，k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-\frac{9}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-\frac{9}{5}}$，代入韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理即可得到k₁+k₃=2k₂．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右焦點(diǎn)F為（5，0），
設(shè)直線1的方程為x=my+5，
代入雙曲線的方程16x²-9y²=144，可得
（16m²-9）y²+160my+256=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-$\frac{160m}{16{m}^{2}-9}$，y₁y₂=$\frac{256}{16{m}^{2}-9}$，
設(shè)M（$\frac{9}{5}$，t），可得k₂=$\frac{t}{\frac{9}{5}-5}$=-$\frac{5t}{16}$，
k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-\frac{9}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-\frac{9}{5}}$=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+\frac{16}{5}}$+$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+\frac{16}{5}}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（\frac{16}{5}-mt）（{y}_{1}+{y}_{2}）-\frac{32}{5}t}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+\frac{16}{5}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{256}{25}}$，
代入韋達(dá)定理，可得k₁+k₃=$\frac{2m•256+（\frac{16}{5}-mt）•（-160m）-\frac{32}{5}t（16{m}^{2}-9）}{256{m}^{2}-2•256{m}^{2}+\frac{256}{25}（16{m}^{2}-9）}$=-$\frac{5t}{8}$，
即有k₁+k₃=2k₂．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．