由于理科有空間向量的知識(shí),在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用,這為考生選擇解題方案提供了方便,但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺陷,那就是空間向量的運(yùn)算問題,空間向量有三個(gè)分坐標(biāo),在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤,而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢(shì)并不明顯,所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí),不要純粹以空間向量為解題的工具,要注意綜合幾何法的應(yīng)用。(1)只要過點(diǎn)
作
的平行線即可;(2)由于點(diǎn)
是點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影,只要過點(diǎn)
作
的垂線即可很容易地作出二面角
的平面角,剩下的就是具體的計(jì)算問題;蛘呓⒖臻g直角坐標(biāo)系,使用法向量的方法求解。
方法一:(Ⅰ)證明:過點(diǎn)
作
交
于
,連結(jié)
,
可得四邊形
為矩形,又
為矩形,所以
,從而四邊形
為平行四邊形,故
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212837861475.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
平面
,
所以
平面
.………6分
(Ⅱ)解:過點(diǎn)
作
交
的延長(zhǎng)線于
,連結(jié)
.
由平面
平面
,
,得
平面
,
從而
.所以
為二面角
的平面角.
在
中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838314719.png" style="vertical-align:middle;" />,
,
所以
,
.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838454549.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,
從而
,于是
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838626813.png" style="vertical-align:middle;" />所以當(dāng)
為
時(shí),
二面角
的大小為
………12分
方法二:如圖,以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),以
和
分別作為
軸,
軸和
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
.設(shè)
,
則
,
,
,
,
.
(Ⅰ)證明:
,
,
,
所以
,
,從而
,
,
所以
平面
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839390413.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,所以平面
平面
.
故
平面
.………6分
(Ⅱ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839609850.png" style="vertical-align:middle;" />,
,所以
,
,從而
解得
.所以
,
.設(shè)
與平面
垂直,
則
,
,解得
.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839827409.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,
,所以
,
得到
.所以當(dāng)
為
時(shí),二面角
的大小為
.………12分