Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-

3

cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)，其中圖象上相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)之間的距離為π，且x=0為該圖象的一條對(duì)稱軸，則（　　）

• A．f（x）的最小正周期為2π，且在（0，π）上為單調(diào)遞增函數(shù)
• B．f（x）的最小正周期為2π，且在（0，π）上為單調(diào)遞減函數(shù)
• C．f（x）的最小正周期為π，且在(0，

  π

  2

  )上為單調(diào)遞增函數(shù)
• D．f（x）的最小正周期為π，且在(0，

  π

  2

  )上為單調(diào)遞減函數(shù)

Answer 1

分析：由題意利用三角函數(shù)的周期公式，算出ω=2．根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2x+φ-

π

3

），利用正弦函數(shù)對(duì)稱軸方程的公式建立關(guān)系式解出φ=-

π

6

，從而得到f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x．最后根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出f（x）在區(qū)間(0，

π

2

)上的單調(diào)性．

解答：解：∵函數(shù)圖象上相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)之間的距離為π，
∴函數(shù)的周期T=

2π

ω

=π，解得ω=2，
由此可得f(x)=sin(2x+φ)-

3

cos(2x+φ)=2sin（2x+φ-

π

3

），
令2x+φ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得x=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），
∵x=0為該圖象的一條對(duì)稱軸，
∴0=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），解得

1

2

φ=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），
又∵|φ|＜

π

2

，∴取k=-1得φ=-

π

6

．
因此，函數(shù)的表達(dá)式為f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x，
∴f（x）的增區(qū)間是[mπ，

π

2

+mπ]（m∈Z），減區(qū)間是[-

π

2

+mπ，mπ]（m∈Z）．
取m=0得[0，

π

2

]是函數(shù)f（x）的一個(gè)增區(qū)間；[-

π

2

，0]是函數(shù)f（x）的一個(gè)減區(qū)間．
綜上所述，f（x）的最小正周期為π，且在(0，

π

2

)上為單調(diào)遞增函數(shù)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)的圖象滿足的條件，求函數(shù)的周期性與區(qū)間(0，

π

2

)上的單調(diào)性．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換與函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．