已知函數(shù),設(shè)g(x)=(3a2-2)x,
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)如果函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)由f/(x)=0及函數(shù)f(x)的單調(diào)性,判斷f(x)的極值點(diǎn),進(jìn)而求得相應(yīng)地極值.
(2)首先把“函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)變換為“函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)= x3-ax2-3a2x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”;然后根據(jù)F/(x)=x2-2ax-3a2=(x-3a)(x+a)的正負(fù)性,分析 F(x)的單調(diào)性;結(jié)合F(x)的草圖,可得關(guān)于a的不等式F(3a)•F(-a)>0,進(jìn)而解之即可.
解答:解:(1)當(dāng)時(shí),f/(x)=x2-x-2
令f/(x)=0,得x=2或x=-1.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,2)
所以f(-1)極大值=,f(2)極小值=,
(2)f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)-g(x)=0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
令F(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-3a2x+1,即F(x)=0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
又F/(x)=x2-2ax-3a2=(x-3a)(x+a),
要使F(x)=0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即函數(shù)F(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),其草圖如下:

故F(3a)•F(-a)>0,
,所以,
時(shí),f(x)與g(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).
點(diǎn)評:單調(diào)性是函數(shù)最基本、最重要的性質(zhì),對函數(shù)綜合問題的考查總會有單調(diào)性相伴;而導(dǎo)數(shù)法又是研究函數(shù)單調(diào)性的最基本方法.一定要注意導(dǎo)數(shù)法的靈活運(yùn)用.
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(1)求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若以,圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)的圖象與q(x)=f(1+x2)的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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(1)是否存在唯一實(shí)數(shù)a∈(m,m+1),使得g(a)=0,若存在,求正整數(shù)m的值;若不存在,說明理由.
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>n恒成立,求正整數(shù)n的最大值.

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已知函數(shù),設(shè)g(x)=x2•f'(x)(x>0)
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(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>n恒成立,求正整數(shù)n的最大值.

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