Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AA₁＝4，點D在AB上．

(Ⅰ)求證：AC⊥B₁C；

(Ⅱ)若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；

(Ⅲ)當時，求二面角B―CD―B₁的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：在△ABC中，因為AB＝5，AC＝4，BC＝3， 　　所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC． 　　因為直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1⊥AC． 　　因為BC∩AC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C． 　　所以AC⊥B1C　　4分 　　(Ⅱ)證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連接DE． 　　因為直三棱柱ABC－A1B1C1，D是AB中點，所以側(cè)面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線，所以DE∥AC1．因為DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD　　8分 　　(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BC，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C－xyz．則B(3，0，0)，A(0，4，0)，A1(0，4，4)，B1(3，0，4)． 　　設D(a，b，0)(，)， 　　因為點D在線段AB上，且，即． 　　所以，，，，，． 　　平面BCD的法向量為．設平面B1CD的法向量為， 　　由，，得， 　　所以，，．所以． 　　所以二面角的余弦值為　　12分