Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)；
④存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

Answer 1

分析 逐項(xiàng)判斷即可．①舉例說明即可；②舉反例即可判斷；③說明當(dāng)直線l經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)時(shí)直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)時(shí)關(guān)鍵；④舉例說明即可得到該命題正確．

解答 解：①如直線$y=\sqrt{2}x-\sqrt{3}$，該直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)x為整數(shù)時(shí)，y都是無理數(shù)，故①正確；
②取k=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$都是無理數(shù)，但直線$y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}$經(jīng)過整點(diǎn)（1，0），故此②錯(cuò)誤；
③當(dāng)直線經(jīng)過無窮多過整點(diǎn)時(shí)肯定經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩整點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），（p，q），且m≠p，n≠q，則直線方程為$y=\frac{n-q}{m-p}（x-m）+n$，當(dāng)x=k（m-p）+m，k∈Z時(shí)，y=k（n-q）+n∈Z，即直線經(jīng)過整點(diǎn)（k（m-p）+m，k（n-q）+n），k∈Z，k每取一個(gè)整數(shù)就對(duì)應(yīng)一整點(diǎn)，所以直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，故③正確；
④若直線方程為$y=\sqrt{2}x$，直線經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），當(dāng)x取不為零的任意整數(shù)時(shí)，y都是無理數(shù)，故該直線僅經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），故④正確．
綜上可知，答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的相關(guān)知識(shí)．是一個(gè)新定義問題，解決此類問題關(guān)鍵是理解定義，再用定義結(jié)合所學(xué)知識(shí)解題．本題結(jié)論③的判斷是本題難點(diǎn)．