已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)=ax+lnx(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R).
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)a=-1,g(x)=-
lnx
x
,求證:當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)<g(x)+
1
2
恒成立;
(3)是否存在負(fù)數(shù)a,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)的最大值是-3?如果存在,求出實(shí)數(shù)a的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
理科選修.
分析:(1)設(shè)x∈[-e,0),則-x∈(0,e],從而可得f(-x)=-ax+ln(-x),結(jié)合f(x)為奇函數(shù),可求f(x),x∈[-e,0)
(2)由a=-1時(shí),可得f(x)=
-x+lnx,x∈(0,e]
-x-ln(-x),x∈[-e,0)
,g(x)=-
lnx
x
,而x∈(0,e]時(shí),f(x)=-x+lnx
f(x)=-1+
1
x
=
1-x
x
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得f(x)max=f(1)=-1,g(x)=
lnx-1
x2
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得g(x)min=g(e)=-
1
e
,要證明當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)<g(x)+
1
2
恒成立,即證f(x)maxg(x)min+
1
2
即可
(3)假設(shè)存在負(fù)數(shù)a滿足條件,由(1)可得,x∈(0,e],f(x)=ax+lnx,f(x)=a+
1
x
,令f′(x)>0可得x<-
1
a
,f′(x)<0可得 x>-
1
a
,要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,需要比較e與-
1
a
的大小,故需要討論:①e>-
1
a
,②-
1
a
≥e
兩種情況分別求解函數(shù)的最大值,進(jìn)而可求a
解答:解:(1)當(dāng)x∈[-e,0)時(shí)可得,-x∈(0,e]
∵x∈(0,e]時(shí),f(x)=ax+lnx
f(-x)=-ax+ln(-x)
∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可得f(-x)=-f(x)
-f(x)=-ax+ln(-x)
f(x)=ax-ln(-x)
f(x)=
ax+lnx,x∈(0,e]
ax-ln(-x),x∈[-e,0)

證明:(2)a=-1時(shí),f(x)=
-x+lnx,x∈(0,e]
-x-ln(-x),x∈[-e,0)
,g(x)=-
lnx
x

x∈(0,e]時(shí),f(x)=-x+lnx
f(x)=-1+
1
x
=
1-x
x

令f′(x)>0可得0<x<1,f′(x)<0可得1<x≤e
函數(shù)f(x)在(0,1]單調(diào)遞增,在(1,e]單調(diào)遞減
f(x)max=f(1)=-1
g(x)=
lnx-1
x2
,由x∈(0,e]可得g′(x)≤0
g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減
g(x)min=g(e)=-
1
e

-1<-
1
e
+
1
2

即f(x)maxg(x)min+
1
2

當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)<g(x)+
1
2
恒成立;
解:(3)假設(shè)存在負(fù)數(shù)a滿足條件
由(1)可得,x∈(0,e],f(x)=ax+lnx,f(x)=a+
1
x

令f′(x)>0可得x<-
1
a
,f′(x)<0可得 x>-
1
a

①若e>-
1
a
,即a<-
1
e
,則函數(shù)在(0,-
1
a
]上單調(diào)遞增,在(-
1
a
,e]上單調(diào)遞減
f(x)max=f(-
1
a
)
=a•(-
1
a
)+ln(-
1
a
)=-3

a=-
1
e2

②若 -
1
a
≥e
a≥-
1
e
,則函數(shù)在(0,e]單調(diào)遞增,則f(x)max=f(e)=ae+1=-3
a=-
4
e
(舍)
a=-
1
e2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式,及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值,利用單調(diào)性證明不等式,解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì).是綜合性較強(qiáng)的試題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計(jì)算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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