Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n的項(xiàng)和為S_n，a_n≠0，且2S_n是a₁與a_na_n+1的等差中項(xiàng)．
（1）若a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，求數(shù)列{$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 由2S_n是a₁與a_na_n+1的等差中項(xiàng)，化簡(jiǎn)得a_n+1-a_n-1=4，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式a_n，進(jìn)而可得{$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}，分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別求和可得．

解答 解：（1）2S_n是a₁與a_na_n+1的等差中項(xiàng)，a₁=1，
4S_n=a₁+a_na_n+1=1+a_na_n+1，
4S_n-1=1+a_n-1a_n，
兩式相減得：4a_n=a_na_n+1-a_n-1a_n，a_n≠0，
a_n+1-a_n-1=4
∴數(shù)列{a_n}是以2為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
a_n=2n-1．
（2）$\frac{n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$），
設(shè)b_n=$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$[（-1）ⁿ$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$]，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
${T}_{n}=\frac{1}{4}[（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+$$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）-（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2（2n+1）}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
${T}_{n}=\frac{1}{4}[（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+…-$$（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}）+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）]$，
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n+1}{2（2n+1）}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2（2n+1）}}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2（2n+1）}}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 題考查等差數(shù)列的和求和公式，涉及分類(lèi)討論的思想，在分類(lèi)討論求和時(shí)，易對(duì)項(xiàng)數(shù)即項(xiàng)的確定不準(zhǔn)確，產(chǎn)生錯(cuò)位，屬中檔題．