Question

已知函數(shù)，x∈（0，+∞）
（1）畫(huà)出y=f（x）的大致圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)試比較f（a），f（b）的大�。�
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由，x∈（0，+∞）的圖象向下平移3個(gè)單位，再把x軸下方的翻折到x軸上方，可得y=f（x）的大致圖象
如圖所示
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，），單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）；
（2）由題意，f（a）=，f（b）=
∵
∴，
∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3
∴f（a）＞f（b）；
（3）不存在實(shí)數(shù)a，b滿足條件．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以應(yīng)有a＞0
又f（x）=
①當(dāng)a，b∈（0，）時(shí)，函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，
故有，即，由此可得a=b，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值不存在．
②當(dāng)a，b∈（，+∞）時(shí)，函數(shù)在（，+∞）上為增函數(shù)，
故有，即，由此可得a，b是方程x²+3x-1=0的根，所以，不合題意，故此時(shí)實(shí)數(shù)a，b也不存在．
③當(dāng)a∈（0，），b∈（，+∞）時(shí)，顯然∈[a，b]，而f（）=0∈[a，b]不可能，此時(shí)a，b也不存在
綜上可知，適合條件的實(shí)數(shù)a，b不存在．
分析：（1）由，x∈（0，+∞）的圖象向下平移3個(gè)單位，再把x軸下方的翻折到x軸上方，可得y=f（x）的大致圖象，從而可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分別表示出f（a），f（b），確定其范圍，即可比較f（a），f（b）的大小；
（3）可假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發(fā)探究a，b的可能取值，可分三類(lèi)：a，b∈（0，）時(shí)，a，b∈（，+∞）時(shí)，a∈（0，），b∈（，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實(shí)數(shù)，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查絕對(duì)值函數(shù)，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類(lèi)討論探究，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大．