Question

設數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N*）．
（1）求

1

T1

，

1

T2

，

1

T3

，并證明

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）設b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由T_n=a₁•a₂…a_n，T_n=2-2a_n可以求得a₁，a₂，a₃，繼而可求

1

T1

，

1

T2

，

1

T3

，又Tn=2-2an =2-2

Tn

Tn-1

，結論易證；
（2）由（1）知道，an=

n+1

n+2

，又b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），可以求得bn=

1

(n+2)(n+3)

，從而可以求得s_n．

解答：解：（1）令n=1，可得T₁=a₁=2-2a₁，可得a1=

2

3

，即T1=  

2

3

；
令n=2可得T2=2-2a2，即

2

3

a2=2-2a2，解得a2=

3

4

，同理可求a3=

4

5

1

T1

=

3

2

，

1

T2

=2，

1

T3

=

5

2

；
由題意可得：Tn=2-2

Tn

Tn-1

 ?T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）數列{

1

Tn

}為等差數列，

1

Tn

=

n+2

2

，
當n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

n+1

n+2

，，當n=1時，a1=

2

3

也符合，所以an=

n+1

n+2

．
bn=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴sn= 

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

(n+2)•(n+3)

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．

點評：本題重點考查數列的通項與數列求和，解題的關鍵是合理轉化條件，轉化為等差數列來解決，求和時的難點在于裂項法求和，出現(xiàn)正負項相消，從而問題解決．