Question

（本小題滿分13分）已知平面平面，四邊形是矩形，， 、分別是、的中點，主（正）視圖方向垂直平面時，左（側(cè)）視圖的面積為．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面平面．

 

Answer 1

（1）（2）答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）依題意取的中點，連接，MN ，易得MN||CD且 而∥且＝故∥且＝得四邊形為平行四邊形，∥，由線面平行的判定定理知∥平面； （2）取中點，連接、、，則幾何體的左視圖即為，從而可得，由勾股定理可得為，∴，又已知平面平面，四邊形是矩形易得，從而平面，故可證平面平面.

試題解析：（1）證明：方法一、取的中點，連接，

因為中，、分別是、的中點，

所以∥且＝； 1分

因為矩形中，是的中點，∥且＝；

所以∥且＝，得平行四邊形，∥ 2分

因為平面，平面，所以∥平面； 4分

方法二、取的中點，連接、，

因為中，、分別是、的中點，所以∥，

因為平面， 平面，所以∥平面； 1分

同理可證∥平面； 2分

因為＝，所以平面∥平面； 3分

因為平面，所以∥平面； 4分

（2）證明：取中點，連接、、，

則矩形中，，， 5分

因為中，所以，

因為平面平面，交線為，所以平面，，

所以的面積等于幾何體左（側(cè)）視圖的面積，得

即； 8分

所以中，，，

，，； 10分

因為平面平面，四邊形是矩形，所以平面，

因為平面，所以； 11分

因為，所以平面； 12分

因為平面，所以平面平面． 13分

考點：空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系