Question

18、如圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點(diǎn)O作平面α與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與α交于點(diǎn)P，求證：P是MN的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：先連接AN，交平面α于點(diǎn)Q，連接PQ，由于b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知b∥OQ，同理可證得a∥PQ，從而確定點(diǎn)P的位置．

解答：證明：連接AN，交平面α于點(diǎn)Q，連接PQ．
∵b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O為AB的中點(diǎn)，
∴Q為AN的中點(diǎn)．∵a∥α，a?平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P為MN的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)，同時(shí)考查了對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力，屬于基礎(chǔ)題．